משפט החלפת משתנים:

• תהי $f(x,y)$ רציפה ב - D, כאשר D קבוצה סגורה ו - חסומה
• נתונה ההעתקה הבאה שהיא חח"ע וגזירה ב ברציפות:
  • $$\{\begin{array}{l}x(u,v)\\ y(u,v)\end{array}$$
  • שמעתיקה $(x,y)\in D$ אל $(u,v)\in D\ast$
• אז $$ \iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D^*} f(x(u,v), y(u,v)) |J| du dv $$
• כאשר J מטריצת היעקוביאן:
  • $$J=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)$$
  • אז
  • $$|J|=|\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}|$$

החלפות משתנים פופולריות:

• פולרית:
  • 
  • $$\{\begin{array}{l}x=x(r,\theta )=r\cos (\theta )\\ y=y(r,\theta )=r\sin (\theta )\end{array}$$
  • כאשר $r=\sqrt{x^2+y^2}$
  • כאן היעקוביאן: $$ J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$
  • ששווה ל: $$ J = r \cos^2\theta + r \sin^2\theta = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r \cdot 1 = r $$
  • הערה: מכאן ניתן להשתמש בהצבה ללא הוכחה.
  • דוגמאות לשינוי תחומים בהחלפה לפולרית:
    • 
    •